Giải Toán 8 sách Kết nối Tri Thức, bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Hoạt động 1 trang 37: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a² – ab + b²). Từ đó rút ra liên hệ giữa a³ + b³ và (a + b)(a² – ab + b²).
Giải:
(a + b)(a² – ab + b2) = a . a² – a . ab + a . b² + b . a² – b . ab + b . b²
= a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³
= a³ + (a²b – a²b) + (ab² – ab²) + b³ = a³ + b³.
Từ đó rút ra: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²).

Luyện tập 1 trang 38: 
1. Viết x³ + 27 dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức x³ + 8y³ – (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²).
Giải:
1. Ta có x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² – 3x + 3²) = (x + 3)(x² – 3x + 9).
Vậy x³ + 27 = (x + 3)(x² – 3x + 9).
2. Ta có x³ + 8y³ – (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y²)
= x³ + 8y³ – [x³ + (2y)3]
= x³ + 8y³ – (x³ + 8y3)
= x³ + 8y³ – x³ – 8y³ = 0.
 

Hoạt động 2 trang 38: Với hai số bất kì, viết a³ – b³ = a³ + (–b)³ và sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương để tính a³ + (–b)³. Từ đó rút ra liên hệ giữa a³ – b³ và (a – b)(a² + ab + b²).
Giải:
Ta có a³ – b³ = a3 + (–b)³ = [a + (–b)][a² – a . (–b) + (–b)²]
= (a – b)(a² + ab + b²).
Từ đó rút ra: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).

Luyện tập 2 trang 39:
a. Viết đa thức x³ – 8 dưới dạng tích.
b. Rút gọn biểu thức (3x – 2y)(9x² + 6xy + 4y²) + 8y³.
Giải:
a. Ta có x³ – 8 = x³ – 2³ = (x – 2)(x³ + 2x + 2³) = (x – 2)(x³ + 2x + 4).
Vậy x³ – 8 = (x – 2)(x³ + 2x + 4).
b. Ta có (3x – 2y)(9x³ + 6xy + 4y³) + 8y³
= (3x – 2y)[(3x)³ + 3x . 2y + (2y)³] + 8y³
= (3x)³ – (2y)³ + 8y³
= 27x³ – 8y³ + 8y³ = 27x³.
Vậy (3x – 2y)(9x² + 6xy + 4y²) + 8y³ = 27x³.

Vận dụng trang 39: Giải quyết tình huống mở đầu.
Giải:
Tròn đã áp dụng công thức tổng của hai lập phương để đưa về dạng tích như sau:
x⁶ + y⁶ = (x²)³ + (y²)³
= (x²+y²)[(x²)² - x².y² + (y²)² ]
= (x² + y²)(x⁴ - x²y² + y⁴).
 

Bài 2.12: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu của hai lập phương
a) (x + 4)(x² – 4x + 16);
b) (4x² + 2xy + y²)(2x – y).
Giải:
a) (x + 4)(x² – 4x + 16)
= (x + 4)(x² – x . 4 + 4²)
= x³ + 4³ = x³ + 64;
b) (4x² + 2xy + y²)(2x – y) = (2x – y)[(2x)² + 2xy + y²]
= (2x)³ – y³ = 8x³ – y³.

Bài 2.13: Thay ? bằng biểu thức thích hợp
a) x³ + 512 = (x+8)(x² - ? + 64);
b) 27x³ - 8y³ = (? - 2y)( ? + 6xy + 4y2).
Giải:
a) Ta có x³ + 512 = x³ + 8³ = (x + 8)(x² – 8x + 8²)
= (x + 8)(x² – 8x + 64).
Vậy ta điền như sau x³ + 512 = (x + 8)(x² – 8x + 64) ;

b) Ta có 27x³ – 8y³ = (3x)³ – (2y)³ = (3x – 2y)[(3x)² + 3x . 2y + (2y)²]
= (3x – 2y)(9x² + 6xy + 4y²).
Vậy ta điền như sau 27x³ – 8y³ = (3x – 2y)[9x² + 6xy + 4y²].

Bài 2.14: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) 27x³ + y³;
b) x³ – 8y³.
Giải:
a) 27x³ + y³ = (3x)³ + y³ = (3x + y)[(3x)2 – 3x . y + y2]
= (3x + y)(9x² – 3xy + y2).
b) x³ – 8y³ = x³ – (2y)³
= (x – 2y)[x² + x . 2y + (2y)²]
= (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²).

Bài 2.15: Rút gọn biểu thức sau:
(x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) + (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²).
Giải:
(x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) + (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)
= x³ – (2y)³ + x³ + (2y)³
= (x³ + x³) + [(2y)³ – (2y)³]
= x³ + x³ = 2x³.